完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函式），恰好等於它本身。
如果一個數恰好等於它的真因子之和，則稱該數為“完全數”。第一個完全數是6，第二個完全數是28，第三個完全數是496，後面的完全數還有8128、33550336等等。截至2018年，相關研究者已經找到51個完全數。
基本介紹
中文名：完全數外文名：Perfect number別名：完美數或完備數類型：特殊的自然數性質1：所有的完全數都是三角形數性質2：可以表示成連續奇立方數之和定義：一個數恰好等於它的真因子之和，則稱該數為“完全數”
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定義如果一個數恰好等於它的真因子之和，則稱該數為“完全數”。各個小於它的約數（真約數，列出某數的約數，去掉該數本身，剩下的就是它的真約數）的和等於它本身的自然數叫做完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數。例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3=6。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14=28。第三個完全數是496，有約數1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其餘9個數相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。後面的完全數還有8128、33550336等等。特有性質（1）所有的完全數都是三角形數。一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。例如：6=1+2+3；28=1+2+3+4+5+6+7；496=1+2+3+...+30+31；8128=1+2+3…+126+127。（2）所有的完全數的倒數都是調和數。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。（3）可以表示成連續奇立方數之和。除6以外的完全數，都可以表示成連續奇立方數之和，並規律式增加。例如：28=1+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。（4）都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和。不但如此，而且它們的數量為連續質數。例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。（5）完全數都是以6或8結尾。如果以8結尾，那么就肯定是以28結尾。（科學家仍未發現由其他數字結尾的完全數。）（6）各位數字輾轉式相加個位數是1。除6以外的完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那么這個個位數一定是1。例如：28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1；33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。（7）它們被3除餘1、被9除餘1、1/2被27除餘1。除6以外的完全數，它們被3除餘1，9除餘1，還有1/2被27除餘1。28/3 商9餘1，28/9 商3餘1，28/27 商1餘1。496/3 商165餘1，496/9 商55餘1。8128/3 商2709餘1，8128/9 商903餘1，8128/27 商301餘1。歷史公元前6世紀的畢達哥拉斯是最早研究完全數的人，他已經知道6和28是完全數。畢達哥拉斯曾說：“6象徵著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身。”有些《聖經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字，因為上帝創造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數。聖·奧古斯丁說：6這個數本身就是完全的，並不因為上帝造物用了六天；事實上，因為這個數是一個完全數，所以上帝在六天之內把一切事物都造好了。圖1 畢達哥拉斯在中國文化里：有六穀、六畜、戰國時期的六國、秦始皇以六為國數、六常（仁、義、禮、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中國歷史長河中，之所以熠熠生輝，是因為它是一個完全數。難怪生有的學者說，中國發現完全數比西方還早呢。完全數誕生後，吸引著眾多數學家與業餘愛好者像淘金一樣去尋找。它很久以來就一直對數學家和業餘愛好者有著一種特別的吸引力，他們沒完沒了地找尋這一類數字。接下去的兩個完數看來是公元1世紀，畢達哥拉斯學派成員尼克馬修斯發現的，他在其《數論》一書中有一段話如下：也許是這樣，正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數的，而醜的、壞的東西卻滋蔓不已；是以盈數和虧數非常之多，雜亂無章，它們的發現也毫無系統。但是完全數則易於計數，而且又順理成章：因為在個位數里只有一個6；十位數里也只有一個28；第三個在百位數的深處，是496；第四個卻在千位數的尾巴頸部上，是8128。它們具有一致的特性：尾數都是6或8，而且永遠是偶數。但在茫茫數海中，第五個完全數要大得多，居然藏在千萬位數的深處！它是33550336，它的尋求之路也更加撲朔迷離，直到十五世紀才由一位無名氏給出。這一尋找完全數的努力從來沒有停止。電子計算機問世後，人們藉助這一有力的工具繼續探索。笛卡爾曾公開預言：“能找出完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。”時至今日，人們一直沒有發現有奇完全數的存在。於是是否存在奇完全數成為數論中的一大難題。只知道即便有，這個數也是非常之大，並且需要滿足一系列苛刻的條件。圖2 數論論著疑難問題（1）到底有多少完全數？答：尋找完全數並不是容易的事。經過不少數學家研究，到2018年為止，一共找到了51個完全數。（2）有沒有奇完全數？答：奇怪的是，已發現的51個完全數都是偶數，會不會有奇完全數存在呢？如果存在，它必須大於10^300。至今無人能回答這些問題。儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。另外，如果存在奇完全數，則它們必能表示p^2*q的形式，除6外的偶完全數亦有此性質。